SISTEMA GRACELI - DINÂMICO ESTATÍSTICO QUÂNTICO [12]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A concentração quântica n_Q é a concentração de partícula (i.e. onúmero de partículas porunidade de volume) de um sistema onde a distância interpartícula é igual ao comprimento de onda térmico de de Broglie ou equivalentemente quando os comprimentos de onda das partículas são tangentes ("se tocam") mas não se sobrepõe.^[1]^[2]

Efeitos quanticos tornam-se mais apreciáveis quando a concentração de partículas é maior ou igual que a concentração quântica, a qual é definida como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

n_{Q}=\left({\frac {MkT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}

onde:

M é a massa das partículas no sistema

k é a constante de Boltzmann

T é a temperatura medida em kelvin

\hbar \,

é a constante de Planck reduzida

Como a concentração quântica depende da temperatura; altas temperaturas irão colocar a maioria dos sistemas no limite clássico sem estes terem uma densidade muito alta, e.g. como uma anã branca.

Em física, o comprimento de onda térmico de Broglie é definido para um gás ideal livre de partículas mássicas em equilíbrio como:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

\Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi mkT}}}={\frac {h}{(2\pi mkT)^{1/2}}}

onde

h é a constante de Planck
m é a massa de um gás de partículas
k é a constante de Boltzmann
T é a temperatura do gás

Na mecânica estatística, o modelo O(n) ou modelo vetorial n é um sistema simples de spins interagentes em uma rede diagonal cristalina. Foi desenvolvido por H. Eugene Stanley como uma generalização do modelo de Ising, modelo XY^[1] e modelo de Heisenberg.^[2] No modelo vetorial n, spins $\mathbf {s} _{i}$ clássicos de comprimento unitário de n-componentes são colocados nos vértices de uma rede diagonal.

O Hamiltoniano do modelo vetorial n é dado por:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

H=-J{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}

onde a soma é executada em todos os pares de spins $\langle i,j\rangle$ vizinhos e o " $\cdot$ " denota o produto interno euclidiano padrão. Casos especiais do modelo n-vector são:

n=0

: O Caminho autoevitante^[3]^[4]

n=1

: O modelo de Ising

n=2

: O modelo XY

n=3

: O modelo de Heisenberg

n=4

: Modelo brinquedo^[5] para o setor de Higgs^[6] do modelo padrão

O formalismo matemático geral usado para descrever e resolver o modelo vetorial n e certas generalizações são desenvolvidas no artigo sobre o modelo de Potts.

Na física, o coeficiente de difusão ou difusividade de massa é um valor que representa a facilidade com que cada soluto em particular se move em um solvente determinado. É uma proporcionalidade constante entre o fluxo molar devido a difusão molecular e o gradiente na concentração de espécies (ou pela força condutora para a difusão). A difusividade é encontrada na lei de Fick e numerosas outras equações da físico-química, relacionadas com a difusão de matéria ou energia

É geralmente adequada para um dado par de espécies químicas. Para um sistema multicomponente, é recomendável para cada par de espécies no sistema.

Depende de três fatores:

Tamanho e forma do soluto
Viscosidade do solvente
Temperatura

Quanto maior a difusividade (de uma substância em relação à outra), mais rápido elas difundem-se uma na outra.

Este coeficiente tem unidades no SI de m²/s (comprimento²/tempo).

Dependência da temperatura do coeficiente de difusão

Tipicamente, o coeficiente de difusão de um composto é aproximadamente 10.000 vezes maior no ar que em água. Dióxido de carbono, por exemplo, no ar tem um coeficiente de difusão de 16 mm²/s, e em água seu coeficiente é 0,0016 mm²/s^[1].

O coeficiente de difusão em sólidos a diferentes temperaturas é frequentemente encontrado e bem predito pela equação

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D=D_{0}\,{\mathrm {e} }^{-{\frac {E_{\mathrm {A} }}{RT}}},

onde

$\,D$ é o coeficiente de difusão
$\,D_{0}$ é o coeficiente de difusão máximo (a temperatura infinita)
$\,E_{A}$ é a energia de ativação para difusão em dimensões de [energia (quantidade de substância)⁻¹]
$\,T$ é a temperatura em unidades de [temperatura absoluta] (kelvins ou graus Rankine)
$\,R$ é a constante dos gases em dimensões de [energia temperatura⁻¹ (quantidade de substância)⁻¹]

Uma equação desta forma é conhecida como a equação de Arrhenius.

Uma dependência aproximada do coeficiente de difusão da temperatura em líquidos pode frequentemente ser encontrado usando a equação de Stokes-Einstein, a qual prevê que:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\frac {D_{T1}}{D_{T2}}}={\frac {T_{1}}{T_{2}}}{\frac {\mu _{T2}}{\mu _{T1}}}

onde:

T₁ e T₂ denota temperaturas 1 e 2, respectivamente

D é o coeficiente de difusão (cm²/s)

T é a temperatura absoluta (K),

μ é a viscosidade dinâmica do solvente (Pa·s)

A dependência do coeficiente de difusão da temperatura para gases pode ser expressa usando-se a teoria de Chapman-Enskog (predições precisas na média em aproximadamentre 8%)^[2]:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D={\frac {1.86\cdot 10^{-3}T^{3/2}{\sqrt {1/M_{1}+1/M_{2}}}}{p\sigma _{12}^{2}\Omega }}

onde:

1 e 2 indexas os dois tipos de moléculas presentes na mistura gasosa
T – temperatura (K)
M – massa molar (g/mol)
p – pressão (atm)
$\sigma _{12}={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})$ – o diâmetro médio de colisão (os valores são tabulados^[3]) (Å)
Ω – um integral de colisão dependente da temperatua (os valores são tabulados^[3] mas usualmente de ordem 1) (adimensional).
D – coeficiente de difusão (o qual é expresso em cm²/s quando as outras magnitudes são expressas nas unidades dadas acima^[2]).

Dependência da pressão do coeficiente de difusão

Para autodifusão em gases a duas pressões diferentes (mas a mesma temperatura), a seguinte equação empírica tem sido sugerida:^[2]

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

{\frac {D_{P1}}{D_{P2}}}={\frac {\rho _{P2}}{\rho _{P1}}}

onde:

P₁ e P₂ denotam pressões 1 e 2, respectivamente

D é o coeficiente de difusão (m²/s)

ρ é a densidade mássica do gás (kg/m³)

Difusividade efetiva em meio poroso

O coeficiente de difusão efetiva^[4] descreve a difusão através dos espaços dos poros de um meio poroso. Ele é macroscópico na natureza, porque não são poros individuais mas o espaço poroso inteiro que necessita ser considerado. O coeficiente de difusão efetiva para transporte através dos poros, D_e, é estimado como segue:

equação tensorial de sistema dinâmico estatístico quântico

${\boldsymbol {\mu }}$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

D_{e}={\frac {D\varepsilon _{t}\delta }{\tau }}

onde:

D - coeficiente de difusão em gas ou líquido preenchendo os poros (m²s⁻¹)
ε_t - porosidade disponível para o transporte (adimensional)
δ - constrictividade (adimensional)
τ - tortuosidade (adimensional)

A porosidade disponível para o transporte é igual à porosidade total menos os poros que, devido ao seu tamanho, não são acessíveis às partículas de difusão, e menos becos sem saída e poros cegos (i.e., poros sem estar conectado com o resto do sistema de poros).

A constrictividade descreve o abrandamento da difusão por aumento da viscosidade em poros estreitos como resultado de uma maior proximidade com a parede de poros médios. É uma função do diâmetro dos poros e o tamanho das partículas em difusão.

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Dependência da temperatura do coeficiente de difusão

Dependência da pressão do coeficiente de difusão

Difusividade efetiva em meio poroso

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